раздел математики, в котором изучаютсяпроизводные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций.Производной функции y = f(х) называется предел отношения приращения ?y =y1 - y0 функции к приращению ?x = x1 - x0 аргумента при ?x, стремящемся кнулю (если этот предел существует). Производная обозначается f?(x) или y?;таким образом, Дифференциалом функции y = f(x) называется выражение dy =y?dx, где dx = ?x - приращение аргумента x. Очевидно, что y? = dy/dx.Отношение dy/dx часто употребляют как знак производной. Вычислениепроизводных и дифференциалов называют дифференцированием. Если производнаяf?(x) имеет, в свою очередь, производную, то ее называют 2-й производнойфункции f(x) и обозначают f??(x), и т. д. Основные понятиядифференциального исчисления могут быть распространены на случай функцийнескольких переменных. Если z = f(x,y) - функция двух переменных x и y,то, зафиксировав для y какое-либо значение, можно дифференцировать z по x;полученная производная dz/dx = f?x называется частной производной z по x.Аналогично определяются частная производная dz/dy = f?y, частныепроизводные высших порядков, частные и полные дифференциалы. Дляприложений дифференциального исчисления к геометрии важно, что т. н.угловой коэффициент касательной, т. е. тангенс угла ? (см. рис.) междуосью Ox и касательной к кривой y = f(x) в точке M(x0, y0), равен значениюпроизводной при x = x0, т. е. f?(x0). В механике скорость прямолинейнодвижущейся точки можно истолковать как производную пути по времени.Дифференциальное исчисление (как и интегральное исчисление) имеетмногочисленные применения.
|
